Die Lagebeziehungen zwischen Ebenen und Geraden im dreidimensionalen Raum Berechnen eines Normalenvektors einer Ebene mit einer Koordinatenform der Ebene: Wir wollen den Normalenvektor einer Ebene aus einer Ebenengleichung in Koordinatenform bestimmen. Dazu beginnen wir mit einer Gleichung der Ebene, die den Normalenvektor enthält: Die Normalenform der Ebene . Dabei ist der Stützvektor, der Normalenvektor und der Ortsvektor irgend eines Punktes der Ebene E. Wir schreiben die Normalenform ausführlicher und formen sie geeignet um: Bei der Skalarmultiplikation gilt wie bei der normalen Multiplikation das Distributivgesetz: Durch Anwenden der Skalarmultiplikation erhalten wir: Mit (dabei ist d als Skalarprodukt zweier Vektoren eine reelle Zahl) folgt Durch Anwenden des Kommutativgesetzes erhalten wir . Wir erhalten also durch einfache Äquivalenzumformungen aus der Normalenform der Ebenengleichung eine Ebenengleichung in Koordinatenform! Und erstaunlicherweise sind die Koeffizienten der Normalenform genau die Koordinaten des Normalenvektors! ? Beispiel ?
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