Der Abstand einer Ebene und einer zu ihr parallelen Geraden:
Wir haben gesehen, dass die Abstände eines Punktes der Ebene E zu verschiedenen Punkten der Geraden g im Allgemeinen nicht gleich sind.
Genauso sind die Abstände eines Punktes der Geraden g zu verschiedenen Punkten der Ebene E i.A. nicht gleich groß.
Betrachten wir einen Punkt P der Geraden g, so gibt es aber genau einen Punkt LFP der Ebene E mit minimalem Abstand von P zu LFP.
Erklärung: Legen Sie den Mittelpunkt einer Kugel in den Punkt P und vergrößern Sie den Radius der Kugel solange, bis diese die Ebene gerade in einem Punkt berührt. Dieser Punkt ist der Punkt mit dem minimalen Abstand der Geraden g zu E.
Man erhält diesen Punkt aber auch durch Projektion des Punktes P "von Oben" auf die Ebene,
sozusagen als Schatten von P auf E, wenn Licht senkrecht "von Oben" auf die Ebene fällt.
Die Verbindungsline von P zu LFP ist senkrecht zu jeder Geraden, die in der Ebene E liegt und den Punkt LFP enthält.
Stehen zwei Geraden senkrecht aufeinander, sagt man auch, sie stehen lotrecht aufeinander. Dann ist die eine Gerade ein Lot der anderen.
Der Punkt LFP wird deshalb Lotfußpunkt des Punktes P genannt.
Die Lotgerade der oben beschriebenen Situation steht senkrecht zur Ebene E.
Ihre Richtungsvektor ist daher ein Normalenvektor der Ebene E.
Mit einem Normalenvektor kann man eine neue Form der Ebenengleichung darstellen: die Normalenform.
| Definition: Der Abstand einer Ebene E und einer zu E parallelen Geraden g ist der Abstand eines Punktes P der Geraden g zu seinem Lotfußpunkt LFP auf der Ebene E. |
Der so definierte Abstand ist unabhängig von der Wahl des Punktes P und wird als Abstand zweier Punkte berechnet.
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